课件下载_百万课件网

复变函数课件 4.3泰勒展式(2)

声明:本课件在电脑上可正常浏览,在手机或平板电脑上只能浏览到简介。

复变函数课件 4.3泰勒展式(2)的内容简介:

解析函数的零点设函数f(z)在的邻域U内解析,并且 那么称为f(z)的零点。设f(z)在U内的泰勒展式是: 现在可能有下列两种情形: (1)如果当n=1,2,3,时, (2)如果不全为零,并且对于正整数m,而对于nm,那么我们说是f(z)的m阶零点。如果是解析函数f(z)的一个m阶零点,那么显然在它的一个邻域U内 换而言之,存在着的一个邻域,其中是f(z)的唯一零点。

定理5.1设函数f(z)在解析,并且是它的一个零点,那么或者f(z)在的一个邻域内恒等于零,或者存在着的一个邻域,在其中是f(z)的唯一零点。 注解:此性质我们称为解析函数零点的孤立性。 我们知道,已知一般有导数或偏导数的单实变或多实变函数在它的定义范围内某一部分的函数值,完全不能断定同一个函数在其他部分的函数值。解析函数的情形和这不同:已知某一个解析函数在它区域内某些部分的值,同一函数在这区域内其他部分的值就可完全确定。 引理6.1设f(z)是区域D内的解析函数。如果f(z)在D内的一个圆盘内恒等于零,那么f(z)在D内恒等于零。

引理4.1的证明:用D内的折线L连接,存在着一个正数 ,使得L上任一点与区域D的边界上任一点的距离大于 于是f(z)在内泰勒展式的系数都是零,从而f(z)在内恒等于零。 一般地,已经证明了f(z)在内恒等于零,就可推出它在内恒等于零,而最后就得到,因此引理的结论成立。 定理4.1、2:定理6.1如果f(z)在区域D内解析,并且不恒等于零,那么f(z)的每个零点有一个邻域,在其中是f(z)唯一的零点。

定理6.2(解析函数的唯一性定理)设函数f(z)及g(z)在区域D内解析。设是D内彼此不同的点(k=1,2,3,),并且点列在D内有极限点。如果, 证明:假定定理的结论不成立。即在D内,解析函数F(z)=f(z)-g(z)不恒等于0。显然 设是点列在D内有极限点。由于F(z)在连续,可见 可是这时找不到的一个邻域,在其中是F(z)唯一的零点,与解析函数零点的孤立性矛盾。

例1、在复平面解析、在实数轴上等于sinx的函数只能是sinz. 解:设f(z)在复平面解析,并且在实轴上等于sinx,那么在复平面解析f(z)-sinz在实轴等于零,由解析函数的唯一性定理,在复平面解析上f(z)-sinz=0,即f(z)=sinz。 注解:有关幂函数的和函数在其收敛圆上某些点处解析,如第3段例1及例2,由解析函数的唯一性定理,都不存在另一个解析函数,在收敛圆内与和函数恒等,而收敛圆上和函数为解析的点的邻域内,与它不恒等。
例2、是否存在着在原点解析的函数f(z),满足下列条件: (1)、 都以0为聚点,由解析函数的唯一性定理,f(z)=z是在原点解析并满足 的唯一的解析函数;但此函数不满足条件 因此在原点解析并满足这些条件的函数不存在; (2)、我们有 由解析函数的唯一性定理, 是在原点解析并满足此条件的唯一的解析函数。

课件下载:下载地址 页数:14页 [ 收藏 推荐 ]
课件大小:0.07 MB 上传时间:2013-03-08 18:02:37 下载次数: 所需金币:0个

你可能感兴趣的,与“复变函数课件 4.3泰勒展式(2)”相关的内容