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复变函数课件 2.3初等多值函数

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复变函数课件 2.3初等多值函数的内容简介:

第三节初等多值函数

一、幂函数的定义:
利用对数函数,可以定义幂函数:设a是任 何复数,则定义z的a次幂函数为 因此,对同一个的不同数值 的个数等于不同数值的因子个数。 幂函数的基本性质:设在区域G内,我们可以把Lnz分成无穷个 解析分支。对于Lnz的一个解析分支,相应地 有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则,的这个单值连续分支在G内解析,并且 其中应当理解为对它求导数的那个分支, lnz应当理解为对数函数相应的分支。 对应于Lnz在G内任一解析分支:当a是整数时, 在G内有n个解析分支;当a是无理数或虚数时,幂函数 在复平面上以负实轴(包括0)为割线而得的区 域D内,它有n个不同的解析分支: 这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值,与相 应的连续分支在该处所取的值一致。 当a不是整数时,原点及无穷远点是 的支点。但按照a是有理数或者a不是有理数,这 两个支点具有完全不同的性质。 为了理解这些结论,我们在0或无穷远点的 充分小的邻域内,任作一条简单闭曲线C围绕0 或无穷远点。在C上任取一点, 现在考虑下列两种情况: (1)a是有理数 出发按反时针或顺时针方向连续 变动n周时,argz从 也即第一次回到了它从 的n-1阶支点, 也称n-1为阶代数支点。 (2)a不是有理数时,容易验证原点和无穷远点 是 当a不是整数时,由于原点和无穷远点是 的支点,所以任取连接这两个支点的一条简单连 续曲线作为

二、幂函数的映射性质:
关于幂函数当a为正实数时的映射性质,有下面 的结论: 设是一个实数,并且 在z平面上取正实数轴(包括原点)作为割线, 得到一个区域D*。考虑D*内的角形, 的角形,同时,这个函数把A中以原点为心的圆弧映射成中 类似地,我们有,当n是正整数时, 例1、作出一个含i的区域,使得函数 在这个区域内可以分解成解析分支;求一个分支 在点i个的值。 可以用正实数轴作为割线,在所得区域上,函数 可以分解成单值解析分支。同时,我们注意到 例2、验证函数 在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支;求出 这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支 在z=-1处的值及函数在(0,1)下沿的值。 例2:因此,在区域D=C-[0,1]内函数可以分解成解析 分支;若在(0,1)的上沿规定

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